Meetkunde en Algebra

van een projectief naar een euclidisch vlak

Rinse Poortinga • Boek • paperback

• Samenvatting
  Dit boek is bestemd voor lezers met belangstelling voor meetkunde, die enigszins bekend zijn met lineaire algebra. Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op een beeldende manier de algebraïsche eigenschappen. Meetkunde en algebra zijn nauw met elkaar verweven. Een punt in een ruimte met dimensie n kunnen we representeren door een n-tal coördinaten. Met deze coördinaten kunnen we rekenen alsof het reële getallen zijn. Een belangrijk deel van de meetkunde berust echter niet op de specifieke eigenschappen van de reële getallen. Het is in eerste instantie voldoende dat de coördinaten behoren tot een algebraïsche structuur die in de wiskunde bekend staat als een 'lichaam'. De elementen van een lichaam kunnen we optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Voor deze bewerkingen gelden soortgelijke regels als voor het rekenen met rationale, reële of complexe getallen, maar m.b.t. andere zaken kunnen lichamen heel verschillend zijn. Er bestaan zelfs lichamen met een eindig aantal elementen. Om afstanden en hoeken te kunnen definiëren moeten extra eisen aan het gebruikte grondlichaam gesteld worden. Het is interessant om te zien welke algebraïsche eigenschappen verantwoordelijk zijn voor welke meetkundige eigenschappen.
  
  De hoofdstukken 1 t/m 11 behandelen de overgang van een projectief vlak naar een euclidisch vlak. In hoofdstuk 12 wordt het lichaam van de reële getallen als grondlichaam genomen. Dan hoeven we ons niet meer te beperken tot algebraïsche methoden, maar staan alle middelen van de analyse ter beschikking. Die zijn bijvoorbeeld nodig om een hoekmaat te kunnen invoeren. De hoofdstukken 13 t/m 18 geven een overzicht van de algebra die nodig is bij het bestuderen van meetkunde met behulp van algebraïsche methoden. Met name hoofdstuk 15 over lineaire algebra is van belang. In hoofdstuk 16 wordt in het kort de projectieve meetkunde in hogere dimensies behandeld.
• Productinformatie
  Binding : Paperback
  Distributievorm : Boek (print, druk)
  Formaat : 170mm x 240mm
  Aantal pagina's : 325
  Uitgeverij : Rinse Poortinga
  ISBN : 9789081813525
  Datum publicatie : 11-2014
  
• Inhoudsopgave
  Meetkunde en Algebra
  
  Inhoud:
  
  1 Een projectief vlak ............................................................................. 1
  
  1.1 Inleiding.
  1.2 Homogene coördinaten.
  1.3 Het projectieve vlak.
  1.4 Uitwendig product.
  1.5 Parametervoorstelling van een lijn en een lijnenwaaier.
  1.6 Dubbelverhouding.
  
  2 Projectieve afbeeldingen van waaiers op waaiers ..........................17
  
  2.1 Herhaald projecteren en snijden.
  2.2 Projectieve transformaties een lijn.
  2.3 Dekpunten.
  
  3 Projectieve transformaties van een vlak .......................................... 29
  
  3.1 Projectieve transformaties van het projectieve vlak.
  3.2 Een volledige vierhoek.
  
  4 Kegelsneden ......................................................................................... 47
  
  4.1 Kegelsneden.
  4.2 De stelling van Pascal.
  4.3 Duale kegelsneden.
  4.4 Poolverwantschap.
  4.5 Kegelsneden met een standaardvergelijking.
  
  5 Nog meer projectiviteiten .................................................................73
  
  5.1 Projectiviteiten van een vlak op een vlak.
  5.2 Homologieën.
  5.3 Centrale collineaties.
  5.4 Projectieve afbeeldingen van kegelsneden.
  
  6 De oneindig verre lijn ........................................................................ 87
  
  6.1 Oneindig verre punten.
  6.2 Verhoudingen.
  6.3 Affiene transformaties.
  6.4 Affiene classificatie van kegelsneden.
  6.5 Cirkels.
  
  7 Affiene transformaties ......................................................................... 103
  
  7.1 Lineaire en affiene afbeeldingen.
  7.2 Verhoudingen op een lijn.
  7.3 Inwendig product.
  7.4 Classificatie van kegelsneden in F2.
  7.5 Gelijkvormigheden.
  7.6 Möbiustranformaties.
  
  8 Een geordend grondlichaam ............................................................... 117
  
  8.1 Een vlak met een geordend grondlichaam.
  8.2 Gelijkvormigheden en congruenties.
  8.3 Spiegelen t.o.v. een lijn.
  8.4 Halfvlakken.
  8.5 Oppervlakte.
  8.6 Gelijkvormige en congruente driehoeken.
  
  9 Een euclidisch vlak .................................................................131
  
  9.1 Afstanden volgens Pythagoras.
  9.2 Afstand en oppervlakte.
  9.3 Hoeken.
  9.4 Cosinus, sinus en tangens van hoeken.
  9.5 Niet-georiënteerde hoeken.
  9.6 Gelijkvormige en congruente driehoeken.
  9.7 Bissectrices en sectoren.
  
  10 Toepassingen met hoeken en afstanden ................................. 153
  
  10.1 De hoek tussen twee lijnen.
  10.2 De macht van een punt t.o.v. een cirkel.
  10.3 Hoeken en dubbelverhoudingen.
  10.4 Symmetrieassen van kegelsneden.
  10.5 Brandpunt en richtlijn van een kegelsnede.
  10.6 Raaklijneigenschappen van een kegelsnede.
  10.7 Congruente cirkelbogen.
  
  11 Construeerbaarheid ........................................................................ 173
  
  11.1 Constructies met passer en liniaal.
  11.2 Construeerbare hoeken.
  11.3 Construeerbare regelmatige n-hoeken.
  11.4 Oppervlakte en omtrek van een regelmatige n-hoek.
  
  12 Goniometrie in het reële vlak .......................................................... 185
  
  12.1 Eigenschappen van R
  12.2 Het getal pi. Bogen en sectoren van de eenheidscirkel.
  12.3 Een maat voor de niet-georiënteerde hoek.
  12.4 Cosinus en sinus als functies met domein R.
  12.5 Uniekheid van de cosinus en de sinus.
  12.6 Een parametrisering van de eenheidscirkel.
  12.7 Argument en modulus van een punt.
  12.8 Een maat voor georiënteerde hoeken.
  12.9 Benadering van het getal pi.
  
  13 Algebraïsche structuren, groepen ..................................................... 201
  
  13.1 Groepen.
  13.2 Structuurbehoudende afbeeldingen.
  13.3 Ondergroep..
  13.4 Gehele veelvouden.
  13.5 Een geordende groep.
  13.6 Grootste gemene deler.
  13.7 Priemgetallen.
  13.8 Equivalentierelaties.
  
  14 Lichamen, integriteitsgebieden en ringen ....................................... 217
  
  14.1 Lichamen.
  14.2 Integriteitsgebieden.
  14.3 Idealen van een integriteitsgebied.
  14.4 Een geordend lichaam.
  14.5 De complexe getallen.
  
  15 Lineaire ruimten .................................................................................. 231
  
  15.1 Lineaire ruimten en lineaire afbeeldingen.
  15.2 Determinant.
  15.3 Lineaire deelruimten.
  15.4 Transponeren en de rang van een matrix.
  15.5 De kern van een lineaire afbeelding.
  15.6 Affiene deelruimten.
  15.7 Quotiëntruimte.
  15.8 De duale ruimte van een lineaire ruimte.
  15.9 Bilineaire en homogene kwadradische functies.
  15.10 Kwadratische functies en kwadrieken.
  15.11 Middelpunt, raakhypervlak.
  15.12 Isometrieën.
  
  16 Projectieve ruimten ........................................................................ 260
  
  16.1 Hoger dimensionale projectieve ruimten.
  16.2 Projectiviteiten.
  16.3 Homogene coördinaten.
  16.4 Projectieve transformaties.
  16.5 Kwadrieken.
  16.6 Het oneindig verre hypervlak.
  16.7 Projectieve en affiene classificatie van kwadrieken.
  16.8 Dualiteit.
  
  17 Veeltermen .................................................................................. 276
  
  17.1 Veeltermen.
  17.2 Veeltermfuncties.
  17.3 Deelbaarheidseigenschappen van veeltermen.
  17.4 Nulpunten van een veelterm.
  17.5 Algebraïsche lichaamsuitbreidingen.
  17.6 Idealen.
  
  18 Veeltermen en lineaire afbeeldingen ............................................ 295
  
  18.1 Coördinaten en matrices.
  18.2 Invariante deelruimten.
  18.3 De karakteristieke veelterm van een lineaire afbeelding.
  18.4 De minimale veelterm van een vector.
  18.5 De minimale veelterm van een lineaire afbeelding.
  
  Literatuur ................................................................................................... 307
  
  Trefwoorden .............................................................................................. 309
• Reviews (0 uit 0 reviews)
  Wil je meer weten over hoe reviews worden verzameld? Lees onze uitleg hier.