Fragment
Wij bespreken één ‘constructie’ met een kegelsnede in relatie tot trisectie.
Veronderstel dat we kunnen beschikken over de parabool met vergelijking y=x², gegeven in ons constructievlak met de startpunten O(0,0) en A(1,0). Dan kunnen we van elke hoek een trisectrice ‘construeren’. Tussen aanhalingstekens want naast passer en liniaal gebruiken we dus die parabool.
We bekijken dit voor een hoek van 60°.
De oplossingen van de trisectievergelijking x³-3x-1 = 0 vinden we door de parabool te snijden met een slim gekozen cirkel.
Die cirkel heeft vergelijking: (x-p)²+(y-q)² = p²+q².
De getallen p en q zijn nog te vinden maar de cirkel gaat zeker door O(0,0).
De cirkel snijden met de parabool geeft als vergelijking voor x:
x²-2px+x^4-2qx² = 0 ofwel
x(x³+(1-2q)x-2p) = 0.
Omdat x≠0 krijgen we dus de trisectievergelijking door deze keuze: p= ½ en q=2.
[ In een figuur zijn de cirkel met middelpunt M(½,2) en de parabool getekend. P is het snijpunt in het eerste kwadrant.]
De x-coördinaat van P voldoet aan de trisectievergelijking: x=2cos(20°).
De cirkel snijdt de parabool in P, O en nog twee punten. De lezer kan zelf nagaan dat de x-coördinaten daarvan de andere oplossingen van de trisectievergelijking zijn: 2cos(120°+20°); 2cos(120°-20°).
[ Punten P, O en P' zijn in de figuur zichtbaar. P' heeft de coördinaten (2cos(20°),0). ]
Met |OT|=½|OP'| vinden we dat hoek TOH, met H op de eenheidscirkel loodrecht boven T, het derde deel is van hoek AOB en in ons voorbeeld: een hoek van 20° is ‘geconstrueerd’. En daarmee hebben we een trisectrice van de hoek van 60°.
×
Thuiswinkel Waarborg